🧠:嗯，好的，我现在要解决这个学校食堂用面粉的问题。让我仔细读一遍题目，然后一步步思考怎么解答。题目是说，学校食堂买来面粉7/10吨，第一天用去了这批面粉的5/14，第二天又用去了1/5吨。问两天一共用去了多少吨面粉。首先，我需要明确题目中的各个数据和要求。总共有7/10吨的面粉。第一天用了总量的5/14，也就是这个分数的面粉。第二天用了1/5吨，这里要注意单位是不是吨，题目里说的是吨，所以第二天用的是具体的吨数，而不是比例对吗？那问题是要算两天一共用了多少吨。所以应该把第一天用的量和第二天用的量加起来就行了。那首先计算第一天用了多少吨。第一天用的是总面粉的5/14，总面粉是7/10吨。所以第一天用的量应该是7/10乘以5/14对吗？是的，这样的话就是分数相乘。那我得算这个乘积。让我先计算分子和分母。7乘以5等于35，然后分母是10乘以14等于140，对吗？所以是35/140吨。然后这个分数可以约分吗？35和140的最大公约数是35，对吗？35除以35等于1，140除以35等于4，所以简化后是1/4吨。哦，这样的话，第一天用了1/4吨，也就是0.25吨？对，或者用分数的话是1/4吨。那第二天用了1/5吨。题目里直接给出的是1/5吨，所以不用再乘以什么比例了，对吧？直接加上这个数值就行。那么两天一共用的量就是第一天用的加上第二天用的，也就是1/4吨加上1/5吨。这里得通分一下，因为分母不同，4和5的最小公倍数是20。所以1/4等于5/20，1/5等于4/20。加起来的话是5/20 +4/20=9/20吨。对吗？所以，两天一共用了9/20吨面粉。或者用小数的话，就是0.45吨？不过题目可能希望用分数形式回答，所以应该写成9/20吨。不过我要再检查一下计算过程，确保没有错误。尤其是第一天用量的计算部分是否正确。总面粉量是7/10吨，第一天用了5/14。计算的时候是7/10 ×5/14。是的，分子是7×5=35，分母是10×14=140。然后约分的话，35和140的最大公约数是35，对吧？35÷35=1，140÷35=4，所以等于1/4吨。这部分是对的。然后第二天用了1/5吨，直接加上。所以1/4 +1/5。通分后是5/20 +4/20=9/20吨。没错，这样计算是对的。所以两天共用去了9/20吨面粉。这个结果对吗？再想一想，假设总共有0.7吨面粉（7/10吨是0.7），第一天用了5/14的话，就是0.7 ×5/14。计算的话，0.7乘以5是3.5，除以14等于3.5/14=0.25吨。没错，和之前的1/4吨一致。第二天用掉0.2吨（1/5吨），加起来是0.25+0.2=0.45吨，也就是9/20吨。对的，这个结果正确。所以答案应该是两天共用了9/20吨，也就是用分数形式写成9/20吨，或者写成带框的boxed{dfrac{9}{20}}。

🔑:学校食堂买来面粉 frac{7}{10} 吨。第一天用去总量的 frac{5}{14}，计算如下： [text{第一天用量} = frac{7}{10} times frac{5}{14} = frac{35}{140} = frac{1}{4} text{吨}。] 第二天用去 frac{1}{5} 吨，直接相加： [text{两天共用} = frac{1}{4} + frac{1}{5} = frac{5}{20} + frac{4}{20} = frac{9}{20} text{吨}。] 验证总面粉量 frac{7}{10} = 0.7 吨，第一天用量为 0.7 times frac{5}{14} = 0.25 吨，第二天用量为 0.2 吨，合计 0.25 + 0.2 = 0.45 吨，即 frac{9}{20} 吨。 最终答案： boxed{dfrac{9}{20}}

🧠:嗯，我现在得仔细想想这个问题。题目是说一个路口的交通信号灯，绿灯亮40秒，然后黄灯闪烁几秒，接着红灯亮30秒。有一辆车到达路口的时候，遇到红灯的概率是2/5。那黄灯闪烁的时间是多少秒呢？这个问题看起来应该跟时间周期和概率有关，对吧？首先，我应该理清楚整个信号灯的周期有多长。绿灯是40秒，黄灯是未知的，假设为x秒，红灯是30秒。那么整个周期应该是这三个时间的总和，也就是40 + x + 30秒，对吧？也就是70 + x秒。这样整个周期的时间长度是确定的，就是70加黄灯的时间x。接下来题目说遇到红灯的概率是2/5。那这里的概率应该怎么计算呢？概率的话应该是红灯的时间占整个周期时间的比例。比如红灯亮了30秒，整个周期是70+x秒，那红灯的概率就是30/(70+x)。题目里说这个概率是2/5，所以是不是可以列方程：30/(70+x) = 2/5？让我再确认一下这个思路是否正确。当车辆随机到达路口的时候，遇到红灯的概率等于红灯持续时间占整个周期时间的比例。这个是对的，因为假设车辆到达的时间是均匀分布的，那么概率就是红灯时间除以整个周期时间。那这样的话，这个方程应该是对的。所以现在解这个方程：30/(70 + x) = 2/5。两边交叉相乘的话，可以得到2*(70 + x) = 5*30。右边是150，左边是140 + 2x。所以等式是140 + 2x = 150。然后移项的话，2x = 10，所以x=5。那黄灯的时间应该是5秒？不过，等一下，我要仔细检查一下有没有哪里出错了。比如，是否应该考虑黄灯时遇到的情况？题目问的是遇到红灯的概率，所以黄灯的时候不属于红灯，对吧？所以红灯的时间只是30秒，黄灯的时间x秒是另一个阶段，所以整个周期确实是40+x+30秒，这时候红灯的概率就是30/(70+x)。所以这样计算是对的。那带入数值的话，解出来的x=5秒，这样整个周期是75秒，红灯30秒的话，概率就是30/75=2/5，确实对的。所以答案应该是5秒。不过再想一下，是否有其他可能性呢？比如，遇到黄灯的时候是否也算某种情况？题目里明确说是遇到红灯的概率，所以黄灯的时候不算红灯。那这样我的计算是对的，对吧？嗯，看来没错。黄灯的时间是5秒，所以答案应该是5秒，也就是用boxed{5}来表示。

🔑:某路口的交通信号灯周期由绿灯40秒、黄灯x秒和红灯30秒组成，总周期为40 + x + 30 = 70 + x秒。根据题意，车辆随机到达路口时遇到红灯的概率为frac{2}{5}，即红灯时间占整个周期的比例为frac{2}{5}。因此可列方程：[frac{30}{70 + x} = frac{2}{5}]解此方程：[2 times (70 + x) = 5 times 30 implies 140 + 2x = 150 implies 2x = 10 implies x = 5]验证：周期总长为70 + 5 = 75秒，红灯时间占比为frac{30}{75} = frac{2}{5}，符合题意。因此，黄灯闪烁的时间为boxed{5}秒。

🧠:这个问题看起来是关于燃料消耗的，我需要仔细想清楚。题目是说，一个供热厂在21小时内消耗了7升燃料，那么在90小时内会消耗多少燃料呢？那我得先理清楚问题的已知条件和要求的结果。首先，已知的是供热厂在21小时里用了7升燃料。现在需要求的是90小时会用多少升。这个问题应该涉及到燃料消耗率的计算，也就是每小时用多少燃料，然后再乘以时间得到总量。或者可能还有其他方法，比如比例关系？那我先考虑燃料消耗率。既然21小时用了7升，那么每小时用的量应该是7升除以21小时。对吧？那这样的话，每小时消耗的燃料量是7/21升每小时。然后，算一下这个结果。7除以21等于1/3，也就是每小时消耗1/3升。这样的话，90小时的话应该就是每小时1/3升乘以90小时。计算的话，1/3乘以90等于30。所以可能答案就是30升？但是，我得检查一下我的步骤是否正确。首先，确定燃料的消耗是否是恒定的，也就是说，不管时间长短，每小时消耗的燃料量是否一样。题目中并没有提到其他因素，所以应该假设是匀速消耗的。所以这个方法是合理的。或者，也可以用比例的方法来解。因为21小时对应7升，那么想知道90小时对应多少升。可以设x为90小时所需的燃料量，所以比例式应该是21小时：7升=90小时：x升。这时候比例是时间与燃料成正比，所以可以写成21/7 = 90/x？不，或者应该是时间之比等于燃料之比？其实可能应该是时间1对应的燃料和时间2对应的燃料成比例，因为燃料和时间成正比。比如，当时间增加时，燃料也应该按同样的比例增加。因此，正确的比例应该是21小时对应7升，所以每小时对应的燃料是7/21升，所以比例式应该是这样的：7升 / 21小时 = x升 / 90小时。这样的话，解这个方程的话，x = (7/21)*90 = 30升。这和我之前的方法结果一致。所以看来答案是对的。可能还有一种方法是通过单位燃料消耗来计算。比如说，每升燃料可以工作的时间？不过这样可能不太直观，不过也可以试试。比如，7升用了21小时，那么每升燃料可以维持21/7=3小时。所以每升能用3小时。那么，要维持90小时的话，需要的燃料量就是90小时除以3小时每升，等于30升。这样同样得到30升的结果。这说明无论用哪种方法，结果都是30升。这说明答案的正确性较高。所以，我应该确认这些步骤是否正确。首先，计算消耗率是否正确。7升用21小时，每小时消耗量是7/21=1/3升，正确。然后，90小时乘以每小时消耗量，得到90*(1/3)=30，没错。比例法中的比例是否建立正确呢。对的，因为同样的消耗率，时间越多，消耗的燃料越多，成正比。所以比例式正确。另外第三种方法的单位换算也是正确的，每升3小时，所以需要的量是90/3=30，没错。这样的话，这个问题应该没有其他陷阱或者需要注意的地方了吗？比如是否需要考虑单位不同的情况？题目里的单位都是小时和升，所以没问题。可能的时间换算或者单位换算也不存在。题目中的数值都是整数，所以得出的结果应该也是整数30升。所以综合这些分析，我认为答案应该是30升。现在再复查一遍所有的计算步骤是否正确，有没有哪里弄错了。比如，在比例法中，是否比例式写反了？比如，可能有人会写成21小时/7升=90小时/x升，这时候解出来的x就是（7升 ×90小时)/21小时= (630)/21=30升，同样是对的。所以不管用时间比还是消耗率，结果都一致。看来这个问题无论用哪种方法解，答案都是30升。所以最终的结果应该没错。

🔑:供热厂在21小时内消耗7升燃料，首先计算每小时燃料消耗量：[text{每小时消耗量} = frac{7 text{升}}{21 text{小时}} = frac{1}{3} text{升/小时}。]接下来，计算90小时的燃料消耗总量：[text{总消耗量} = frac{1}{3} text{升/小时} times 90 text{小时} = 30 text{升}。]或者通过比例关系求解：设90小时消耗(x)升燃料，则时间与燃料成正比：[frac{21 text{小时}}{7 text{升}} = frac{90 text{小时}}{x text{升}} implies x = frac{7 times 90}{21} = 30 text{升}。]两种方法均得到相同结果。因此，90小时内消耗的燃料为：[boxed{30}]

🧠:嗯，我现在要解决这个问题，题目是说已知直线方程是(1−a)x + (a+1)y −4(a+1)=0，其中a是实数，这条直线过定点P。然后点Q在函数y = x + 1/x的图像上，那么PQ连线的斜率的取值范围是多少。我需要仔细分析一下，一步步来。首先，关于直线过定点的问题。通常这类问题需要确定不管参数a取何值，直线都通过的点，也就是定点P。怎么找这个定点呢？可能需要将直线方程整理成关于a的多项式，然后令系数为零，解方程组。原直线方程是：(1−a)x + (a+1)y −4(a+1) = 0。我可以把这个方程重新整理一下，把所有含a的项提出来。原式展开后是：1x - a x + a y + 1 y -4a -4 = 0。把含有a的项合并：a(-x + y -4) + (x + y -4) = 0。因为不管a取何值，这个方程都要成立，所以系数前的系数必须为零，剩下的常数项也为零。也就是说：对于关于a的系数部分：-x + y -4 = 0；而常数项部分：x + y -4 = 0。所以，我需要解这两个方程组成的联立方程组：1. -x + y -4 = 0；2. x + y -4 = 0。把这两个方程相加，得到：(-x + y -4) + (x + y -4) = 0 + 0 → 2y -8 = 0 → y = 4。代入第二个方程x + y -4 =0，代入y=4的话，得到x +4 -4 = 0 → x=0。所以，定点P的坐标是(0,4)。对吗？先检查一下，代入原方程看看是否成立：原直线方程代入x=0，y=4，左边= (1−a)*0 + (a+1)*4 −4(a+1) = 0 +4(a+1) -4(a+1)=0，对的，成立。所以P点坐标是(0,4)。接下来，点Q在函数y =x +1/x的图像上。所以Q的坐标可以表示为(t, t +1/t)，其中t≠0。现在需要找到PQ连线的斜率的取值范围。PQ的斜率k，可以用两点坐标计算：PQ的斜率k = [ (t +1/t) - 4 ] / [ t - 0 ] = [ t + 1/t -4 ] / t = [t² +1 -4t ] / t².不过这里可能需要再检查一下计算是否正确。或者我应该重新计算斜率：点P是(0,4)，点Q是(t, t +1/t)，所以PQ的斜率k = (t +1/t -4) / (t -0) = (t +1/t -4)/t。这个时候，可以化简吗？或者让我再计算一次：k = [ (t + 1/t) -4 ] / [t - 0] = (t + 1/t -4)/t = [t² +1 -4t]/t²，还是不对？或者是否应该分开？等式左边是分子：(t +1/t -4)，分母是t，所以k = (t +1/t -4)/t = 1 +1/t² -4/t.不过这样可能不太好处理，可能需要用其他方式处理。或者考虑将k表示为关于t的函数，然后求这个函数的取值范围。或者更直接一点，设t为实数且t≠0，求k = (t + 1/t -4)/t = 1 + (1/t²) -4/t。不过或许更简便的方法是将原式变形：k = (t + 1/t -4)/t = 1 + (1/t²) -4/t.不过这样可能不太容易分析。或者换一种方式，将k设为表达式，然后找到k的可能值。另外，我们可以让k = [y_Q - y_P]/[x_Q - x_P] = [ (t + 1/t) -4 ] / [t -0] = (t + 1/t -4)/t.或者将这个表达式简化：k = (t + 1/t -4)/t = 1 + (1/t²) - 4/t.但是这样可能不太好处理，可能需要换元。或者，我们可以让s = t + 1/t，这样可能有助于简化表达式。不过要注意s的取值范围。首先，对于函数y = t + 1/t，其中t≠0，我们可以用不等式求其取值范围。根据基本不等式，当t>0时，t +1/t ≥ 2，当且仅当t=1时取到等号；当t<0时，t +1/t ≤ -2，当且仅当t=-1时取到等号。所以y = t +1/t的值域是(-∞, -2] ∪ [2, +∞).不过这可能暂时用不上，先回到原问题。现在PQ的斜率k = [ (t +1/t) -4 ] / t = (t +1/t -4)/t.让我们化简这个表达式：k = (t +1/t -4)/t = [t -4 + 1/t]/t = 1 - 4/t + 1/t².或者这样写成关于1/t的二次函数：k = 1/t² -4/t +1.令u = 1/t，那么k = u² -4u +1，其中u≠0。因为t≠0，所以u可以取任何实数除了0吗？不过原式中的t可以取任何非零实数，对应的u = 1/t也可以取任何非零实数。所以u ∈ R{0}，即u可以是正实数或负实数，但不可为0。于是k = u² -4u +1，其中u∈R{0}。现在要求k的取值范围。不过这里需要注意，虽然原式中的u可以取0以外的所有实数，但k作为二次函数，其取值范围可能覆盖除了某个区间的部分。对于二次函数k = u² -4u +1，它的顶点位于u=2，此时k= (2)^2 -4*2 +1=4 -8 +1= -3。由于二次项的系数是正的，所以这个二次函数在全体实数u上的最小值是-3，当u趋近于正无穷或负无穷时，k趋向于正无穷。但原来的u不能取0，所以我们需要检查当u=0时的情况，不过这里u不能等于0，但原来的二次函数k在u=0时的值是0 -0 +1=1，所以当u趋近于0时，k趋近于1吗？或者说，当u趋近于0时，k = u² -4u +1趋近于1，所以当u趋近于0时，k的极限是1，但u=0不在定义域内，所以k的取值范围是当u∈R{0}时，k的取值范围是什么呢？不过原来的二次函数在全体实数上，即当u∈R时，k的最小值是-3，而当u趋近于±∞时k趋向于正无穷。但是当u∈R{0}时，我们需要检查是否在u=0处有什么影响。不过当u=0时k=1，但u=0不在定义域内。所以k的取值范围应该是[-3, +∞)，只不过当u接近0的时候k接近1，但不管怎样，当u∈R{0}时，k的最小值仍然是-3，因为当u=2时，k=-3，而u=2是允许的，因为当u=2时，对应的t=1/2，属于t≠0的情况。所以k的取值范围是k≥-3吗？但这里需要注意，当u=0时，对应的t不存在，所以当u趋近于0时，k趋近于1，而k=1是否在取值范围内？或者，可能我的分析有问题，因为这里把u=1/t，所以当t趋近于正无穷或负无穷时，u趋近于0，这时候k趋近于1，所以k的取值范围应该是[-3, +∞)？不过让我再仔细检查一下。二次函数k = u² -4u +1在全体实数u上的最小值是-3，发生在u=2。而当u∈R{0}时，u可以取任何值除了0。当u接近0时，k接近1，但因为u=0被排除，所以k可以接近1，但不包括1本身吗？不，不是，当u趋近于0时，无论从正方向还是负方向趋近，k都趋近于1，但u=0不允许，所以k在u趋近于0时，k的极限是1，但实际是否能取到1呢？我们来看当k=1时，是否存在对应的u。解方程u² -4u +1 =1 → u² -4u =0 → u(u-4)=0，所以u=0或u=4。但u=0不被允许，所以只有u=4的时候k=1。对应的t=1/u=1/4。这时，t=1/4，属于定义域内，所以k=1是可以取到的。所以当u=4时，k=1，所以1这个值是可以取到的。所以此时k的取值范围是什么呢？原来的二次函数在全体实数上最小值是-3，当u∈R{0}时，是否存在u使得k更小？当u=2时，k=-3，而u=2是允许的，因为此时t=1/2≠0。所以k的最小值是-3，而最大值趋向于正无穷，所以k的取值范围是[-3, +∞)。不过这个结论是否正确呢？或者需要考虑另一个情况，当u趋近于0时，k趋近于1，这会不会影响取值范围？不过当u=0时，k=1，但此时u=0不存在，所以当u趋近于0时，k趋近于1，但在u=4时k=1，这说明k=1是可以达到的，所以整个k的取值范围是k≥-3，即[-3, +∞)。所以PQ连线的斜率的取值范围是[-3, +∞)。不过这个结果是否正确呢？或者可能哪里出现了错误？让我再考虑另一种方式，直接从k的表达式出发。原来的表达式是k = (t +1/t -4)/t = 1 + (1/t²) -4/t。或者我们可以令s = t，那么k = [s +1/s -4]/s = 1 + (1/s²) -4/s。或者，令u = 1/t，那么k = u² -4u +1，其中u∈R。不过实际上u可以取任何实数，因为t≠0，所以u=1/t可以取除0以外的任何实数。不对，当t≠0时，u=1/t可以取任何实数除了0，所以u∈R{0}。因此，当考虑k = u² -4u +1，u∈R{0}，那么此时k的取值范围是什么呢？当u可以取所有实数，除了0，这个二次函数的最小值在u=2处，此时k=-3，而当u趋近于正无穷或负无穷时，k趋向于正无穷，所以当u∈R时，k的取值范围是[-3, +∞)。但因为u不能为0，所以当u=0时k=1，而u=0不在定义域内，但k=1是否存在于这个取值范围中呢？当u=4时，代入k的计算式：4² -4*4 +1 = 16 -16 +1 =1，所以当u=4时，k=1，这说明k=1是可以取到的，因为当u=4时，对应的t=1/4，符合t≠0的条件。因此，即使排除u=0，k=1仍然是存在的。所以整个k的取值范围仍然是[-3, +∞)。因此，PQ连线的斜率的取值范围是[-3, +∞)。不过让我再检查一遍步骤，确认是否正确。首先，确定定点P：(0,4)，这个是对的，因为代入原方程无论a取何值，结果都为0。然后，点Q的坐标是(t, t +1/t)，这是正确的。计算PQ的斜率，得到k = (t +1/t -4)/t，化简成1 +1/t² -4/t，这一步是对的，或者也可以写成(t² +1 -4t)/t²，但可能后一种形式更容易分析。但换元为u=1/t，导致k= u² -4u +1，这样确实将问题转化为二次函数在u∈R{0}时的取值范围，而二次函数的最小值在u=2时取得k=-3，此时对应的t=1/2，满足条件。当u趋近于0时，k趋近于1，但由于u=4时k=1，所以k=1被包含在取值范围内。因此，整个取值范围是[-3, +∞)。不过，是否存在其他限制呢？比如，点Q在函数y =x +1/x的图像上，而该函数的值域是(-∞, -2] ∪ [2, +∞)，但这可能不会影响到斜率的取值范围，因为这里已经通过换元法将斜率转化为关于u的二次函数，其取值范围已经考虑了所有可能的u。所以最终的结论应该是PQ的斜率的取值范围是[-3, +∞)，也就是k≥-3。不过，题目可能希望以区间的形式给出答案，即写成[-3, +∞)，或者用闭区间表示，因为当u=2时k=-3，当u趋向于正无穷或负无穷时k趋向于正无穷，所以答案应该是[-3, +∞)。所以最终的答案应该是斜率的取值范围是[-3, +∞)，用数学符号表示为k ∈ [-3, +∞)，即填写为boxed{[-3,+infty)}。不过，可能我的推导哪里有问题吗？或者有没有可能我的换元导致漏掉某些情况？另一种方法：直接求k=(t +1/t -4)/t =1 +1/t² -4/t，令f(t)=1 +1/t² -4/t，t≠0。求f(t)的取值范围。令s=1/t，则s≠0，那么f(t)=1 +s² -4s =s² -4s +1。这时候s∈R{0}，所以f(t)=s² -4s +1，s∈R{0}。现在求这个二次函数在s∈R{0}时的取值范围。这个函数在s∈R时的最小值是当s=2时，f(2)=4 -8 +1=-3，而当s趋近于0时，f(s)=0 -0 +1=1，但因为s≠0，所以当s趋近于0时，f(s)趋近于1，而s=2属于允许的范围内，因此最小值是-3，最大值趋向于正无穷。所以这个函数的取值范围是[-3, +∞)，包括s=2时的-3，s=4时的1，所以是的，这个结果正确。因此，答案应该是[-3, +∞)，即k的取值范围是[-3, +∞)。不过原题中的选项可能需要用闭区间形式写出，所以最终结果应当是boxed{[-3,+infty)}。答案boxed{[-3,+infty)}

🔑:已知直线 ((1-a)x + (a+1)y - 4(a+1) = 0) 过定点 (P)，点 (Q) 在函数 (y = x + frac{1}{x}) 的图像上，求 (PQ) 连线的斜率的取值范围。1. 确定定点 (P) 的坐标： 将直线方程整理为关于 (a) 的多项式： [ (1-a)x + (a+1)y - 4(a+1) = 0 implies a(-x + y - 4) + (x + y - 4) = 0 ] 令系数和常数项分别为零，得到方程组： [ begin{cases} -x + y - 4 = 0 x + y - 4 = 0 end{cases} ] 解得 (x = 0)，(y = 4)，故定点 (P) 为 ((0, 4))。2. 表达点 (Q) 的坐标： 点 (Q) 在函数 (y = x + frac{1}{x}) 上，故 (Q) 的坐标为 ((t, t + frac{1}{t}))，其中 (t neq 0)。3. 计算斜率 (k)： (PQ) 连线的斜率 (k) 为： [ k = frac{(t + frac{1}{t} - 4) - 4}{t - 0} = frac{t + frac{1}{t} - 4}{t} = 1 + frac{1}{t^2} - frac{4}{t} ] 令 (u = frac{1}{t})，则 (k = u^2 - 4u + 1)，其中 (u neq 0)。4. 分析二次函数的取值范围： 二次函数 (k = u^2 - 4u + 1) 在 (u in mathbb{R} setminus {0}) 时的取值范围。该二次函数的最小值在 (u = 2) 时取得，为 (-3)。当 (u) 趋近于正无穷或负无穷时，(k) 趋近于正无穷。当 (u = 4) 时，(k = 1)，因此 (k) 的取值范围为 ([-3, +infty))。最终答案：[boxed{[-3,+infty)}]