🧠:好，我现在要解决这个数学题，分两小题。先看第一题，求实数m的值，并说明函数g(x)的单调性。题目给出的是幂函数f(x)=(m²−m−1)x^{−2m−1}在区间(0,+∞)上单调递增，所以首先我需要根据这个条件找出m的值。然后，还涉及到另一个函数g(x)=2^x + m/(2^x)，要说明它的单调性。接下来是第二题，关于不等式g(1−3t)+g(1+t)≥0恒成立，求实数t的取值范围。让我一步一步来思考。首先处理第一题。题目给出f(x)是一个幂函数，所以根据幂函数的定义，系数必须满足m²−m−1=1吗？或者是不是系数前面的那个因子？幂函数的一般形式是f(x)=k·x^n，其中k是常数系数，n是幂指数。题目这里给出f(x)=(m²−m−1)x^{-2m−1}，所以这里的系数是(m²−m−1)，而指数是-2m−1。但是题目中说这是幂函数，所以系数必须是非零的，否则的话，如果系数是0，那么它就是一个常函数0，可能不算严格的幂函数。所以首先系数不能为0，即m²−m−1≠0？不过可能题目已经说这是幂函数，所以隐含条件应该是系数不为零。但是题目并没有明确说明是否存在其他条件，可能我需要先确定系数不为零的情况下的m值，同时使得函数在(0,+∞)单调递增。函数在(0,+∞)上单调递增，那幂函数的单调性由指数决定。对于幂函数x^n来说，在x>0时：当n>0时，x^n在x>0时递增；当n<0时，x^n在x>0时递减。但是这里幂函数是x^{-2m−1}，它的指数是-2m−1。所以当指数-2m−1>0时，即当-2m−1>0 → -2m > 1 → m < -1/2时，幂函数x^{-2m−1}在x>0时实际上是递增的，因为此时指数是正的，而x的正数幂函数在x增大会递增。而当指数-2m−1<0时，即m > -1/2，函数会在x>0时递减。但原题说f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以指数必须大于0，也就是-2m−1>0 ⇒ m < -1/2。但是同时，原来的系数是(m²−m−1)，必须满足非零，即m²−m−1 ≠0，所以m不能是使方程m²−m−1=0的解。解这个方程的话，求根公式得出m=(1±√5)/2，所以这两个值是不能取的，否则系数为零，幂函数不存在。但问题是我需要同时满足幂函数在区间内单调递增，所以指数必须正，即m < -1/2，同时系数(m²−m−1)也不能为零。这可能还不够，因为系数的符号是否会影响函数的单调性？幂函数的单调性是否受系数符号的影响？比如，假设系数为负数，而指数为正，那么整个函数是否会是递减的？对的，如果系数是负数，即使指数为正，整个函数会呈现递减的趋势。例如，-x²在x>0时是递减的吗？实际上，x²在x>0时是递增的，但是乘以-1后，函数就变成递减的了。所以原题中的幂函数f(x)的单调性不仅取决于指数，还取决于系数的符号。所以正确的步骤应该是这样的：首先，幂函数f(x)=(m²−m−1)x^{-2m−1}在(0,+∞)单调递增，必须满足两点：1. 系数(m²−m−1) > 0，这样当指数为正时，整体函数才会随x增大而递增；如果系数为负，即使指数为正，整体函数也会递减。2. 指数-2m−1 > 0，即m < -1/2，这样x的幂次才会是正的，进而当系数为正时，函数递增。或者当指数为负时，可能系数为负的情况下，整体函数递增？这可能需要再仔细分析。例如，对于f(x) = k * x^n来说，当k>0时，若n>0，函数在x>0时递增；若n<0，函数在x>0时递减。当k<0时，若n>0，则函数在x>0时递减，因为k为负，x^n递增，所以整体递减；若n<0，则x^n递减，k为负，整体递增？例如，f(x) = -x^{-1}，即-1/x，在x>0时，导数f’(x)=1/x² >0，所以这个函数是递增的。这种情况下，k=-1<0，n=-1<0，所以当k和n都是负数的时候，x的幂函数会递增？对，这个时候指数n=-1，k=-1，所以f(x)= -1/x，其导数是1/x²，正数，所以在x>0时递增。所以这种情况下，当k<0且n<0时，函数递增。所以，可能存在两种情况：情况一：k>0且n>0，此时函数递增；情况二：k<0且n<0，此时函数递增。所以，原题中的幂函数f(x)=(m²−m−1)x^{-2m−1}要满足在x>0时单调递增，需要满足：要么：1. m²−m−1 >0，且指数-2m−1>0；或者：2. m²−m−1 <0，且指数-2m−1<0。这两种情况都会导致函数递增。所以现在需要同时解这两种可能性。首先，处理情况1：情况1：m²−m−1 >0 → 解不等式：m² - m -1 >0。方程m² -m -1=0的根是m=(1±√5)/2，所以解集是m < (1-√5)/2 或者 m > (1+√5)/2。同时，指数-2m−1 >0 → -2m−1 >0 → -2m >1 → m < -1/2。所以情况1的解集需要同时满足m²−m−1 >0，且m < -1/2。那么，求两者的交集。考虑(1-√5)/2≈(1-2.236)/2≈(-1.236)/2≈-0.618，而-1/2=-0.5。所以当m < (1-√5)/2≈-0.618时，满足m²−m−1 >0，同时m < -1/2=-0.5。但这个时候，比如m=-1，是否符合呢？当m=-1时，m²−m−1=1 -(-1) -1=1+1-1=1>0，满足情况1的条件，同时指数-2*(-1)-1=2-1=1>0，所以此时幂函数x^1，系数1>0，所以确实递增。所以当m<-0.618时，可能属于情况1的可行解。但需要具体看一下。而情况2：m²−m−1 <0 → 解集是(1-√5)/2 <m < (1+√5)/2。同时指数-2m−1 <0 → m > -1/2.所以情况2需要同时满足这两个条件：(1-√5)/2≈-0.618 < m < (1+√5)/2≈1.618，且m > -1/2=-0.5。所以两者的交集是-0.5 < m <1.618。然后，这种情况下，系数m²−m−1 <0，指数-2m−1 <0，即幂函数是x^{负数}，即相当于1/x^{正数}，此时对于k<0的情况，这个函数的单调性如何？例如，假设k=-1，n=-2，那么f(x)= -1/x²，导数f’(x)=2/x^3，当x>0时导数为正，所以函数递增。所以当k<0且n<0时，f(x)=k x^n 的导数是k *n x^{n-1}，因为k和n都是负数，所以k*n是正数，而x^{n-1}当x>0时的情况下，如果n是负数，n-1更小，所以x^{n-1}是正数。所以导数是正数，函数递增。所以情况2下，当m属于(-0.5,1.618)，且满足m²−m−1 <0和指数-2m−1 <0时，即系数为负，指数为负，此时函数f(x)在x>0时递增。所以现在需要找出满足这两个情况下的m值。现在题目要找出实数m的值，可能有两种情况的解，需要综合考虑。但可能题目中的m是唯一的吗？还是可能存在多个解？需要进一步分析这两种情况的可能性。首先，情况1的解是m < (1-√5)/2 且 m < -1/2。因为(1-√5)/2≈-0.618，而-1/2=-0.5。所以当m < -0.618时，同时满足m²−m−1 >0和m < -0.5。例如，m=-1，满足这两个条件吗？当m=-1时，m²−m−1=1 +1 -1=1>0，满足；指数是-2*(-1)-1=2-1=1>0，满足情况1的条件，所以此时f(x)=1*x^1=x，在x>0时递增，符合题目的条件。同样，情况2中的解是m在(-0.5,1.618)，且同时满足m²−m−1 <0，即-0.618 <m <1.618，取两者的交集的话，即m在(-0.5,1.618)之间。并且此时指数-2m−1 <0 → m > -0.5。例如，取m=0，此时m²−m−1=0 -0 -1=-1<0，满足；指数-2*0 -1=-1<0，所以幂函数是x^{-1}，系数是-1，即f(x)=-1/x，其导数为1/x²>0，所以在x>0时递增，符合条件。所以此时是否存在两个可能的解吗？比如m=-1和m=0都是满足条件的？但题目要求求实数m的值，可能是否有多个解？或者是否存在其他条件限制？仔细看题目，题目可能说是幂函数，所以系数不为零，这点已经满足，如果两种情况都存在的话，可能有两个解。但题目可能是否存在m的整数值或其他限制？不过题目可能需要根据题目给出的条件可能存在多个解，但原题可能需要唯一解，这里可能存在我的思考错误，或者是否有其他条件？再检查原题，题目说“幂函数f(x)=(m²−m−1)x^{-2m−1}在(0,+∞)上单调递增”，需要找到符合条件的m的值。刚才的分析显示可能存在两种情况，即情况1和情况2都有解，但需要验证是否存在多个解。让我们试举几个例子：比如情况1：当m=-1时，系数m²−m−1=1+1-1=1>0，指数=1>0，那么f(x)=x，在x>0时递增，符合条件；当m=-2时，系数m²−m−1=4+2-1=5>0，指数= -2*(-2)-1=4-1=3>0，所以f(x)=5x^3，在x>0时递增，符合条件。所以情况1中的任何m < (1-√5)/2≈-0.618都满足条件。但题目可能只需要一个值吗？或者可能题目中的条件其实只允许有一个解？可能我的分析哪里出错了，或者题目是否存在其他隐藏条件？或者是不是题目中的幂函数可能是指数必须是整数？比如，幂函数一般指数是实数，但题目可能不需要这个限制，所以指数可以是任意实数，只要满足条件。但题目要求求实数m的值，可能是有多个可能的解，但题目可能需要的是具体的实数值？这时候可能哪里出问题了呢？或者我的分析有问题，可能两种情况中只有一种存在可行的解？再仔细看一下题目，题目可能要求的是幂函数在(0,+∞)上单调递增，那么可能两种情况都有可能，但需要找到所有可能的m值，或者是否存在唯一的m值？不过题目这里可能有两种情况，但需要实际解方程或者不等式找出可能的解集，然后可能结合第二个问题中的g(x)是否有意义，例如是否存在m使得函数g(x)=2^x + m/(2^x)的表达式在某种情况下出现错误，比如m的值是否有限制？但题目不需要考虑这个，可能直接根据第一题的条件解出m的可能值。不过根据原来的分析，在情况1中，m必须满足m < (1-√5)/2≈-0.618，同时m < -0.5，所以m < -0.618；在情况2中，m必须满足-0.5 < m < (1+√5)/2≈1.618，并且同时满足m²−m−1 <0，即-0.618 <m <1.618。所以这两部分的解集分别是：情况1：m ∈ (-∞, (1-√5)/2 ) ∩ (-∞, -0.5 ) = (-∞, (1-√5)/2 )情况2：m ∈ (-0.5, (1+√5)/2 )但需要满足在情况2中的指数-2m−1 <0，即m > -0.5，所以综合起来，这两个情况的解集是：m ∈ (-∞, (1-√5)/2 ) ∪ (-0.5, (1+√5)/2 )但是题目中的幂函数在x>0时单调递增，所以需要满足上述任一情况。但是题目要求求实数m的值，似乎应该给出所有可能的m值，但题目可能是否要求唯一的解？这时候可能需要进一步的检查是否有其他限制条件或者题目是否有其他暗示。但回到题目，题目是给出的幂函数，所以可能存在其他条件，例如，是否指数必须是整数？这题里并没有特别说明，可能不需要。所以可能存在无限多个m满足条件，但原题可能是否题目设定需要唯一的解？或者我的分析哪里出错了？可能我的之前的分析有误，需要再仔细检查。首先，原题中给出的幂函数是f(x) = (m²−m−1)x^{-2m−1}，当x>0时单调递增。那么要同时满足：系数和指数的条件导致函数递增，即导数在该区间内为正。计算导数：f’(x) = (m²−m−1)*(-2m−1)x^{-2m−2}在x>0的情况下，x^{-2m−2}总是正数，因为任何实数的正次幂都是正的，所以x^{-2m−2} = 1/x^{2m+2} >0对于x>0。所以导数f’(x)的正负取决于(m²−m−1)*(-2m−1)因为x^{-2m−2} >0，所以导数的符号由(m²−m−1)*(-2m−1)决定。函数在x>0时单调递增，即导数≥0，且不恒为0。但题目可能只是要求单调递增，所以导数必须>0，在整个区间内。所以需要：(m²−m−1)*(-2m−1) >0这样我们可以解这个不等式：(m²−m−1)*(-2m−1) >0这是两个因子相乘的结果大于0，即它们的符号相同。所以分两种情况：1. 两因子都正：即：m²−m−1 >0且-2m−1 >0 → -2m >1 → m < -1/2解第一个不等式m² -m -1 >0 → m < (1-√5)/2 或者 m > (1+√5)/2.所以同时满足m < -1/2的情况下，m的范围是m < (1-√5)/2，因为(1-√5)/2≈-0.618，而-1/2=-0.5，故m < -0.618时，同时满足m < -0.5和m²−m−1 >0。所以这里解集是m < (1-√5)/2。第二种情况是两因子都负：即：m²−m−1 <0且-2m−1 <0 → -2m <1 → m > -1/2这时，第一个不等式m² -m -1 <0的解集是(1-√5)/2 <m < (1+√5)/2.同时解得m > -1/2，所以综合起来，m的范围是( -0.5, (1+√5)/2 )因此，总解集是：m < (1-√5)/2 或者 m ∈ (-0.5, (1+√5)/2 )但是原题可能是否只有整数解？或者是否存在这样的m值？题目可能需要找出具体的m值，但题目可能这里存在多个解，但结合第二个问题，可能只有某个特定的m满足，或者是否存在其他条件？但题目第一题要求“求实数m的值”，可能这里需要找出所有可能的m值，但可能题目中的答案应该是唯一的，可能我哪里出错了？或者可能题目中的幂函数需要为标准的幂函数形式，即系数为1？例如，如果题目中的幂函数系数必须为1，即m²−m−1=1，这时候就有m²−m−2=0，解得m=2或m=-1。这时候需要再结合指数部分的条件。这时候我的之前的分析可能有问题，因为如果题目定义为幂函数，通常幂函数形式为x^n，前面的系数为1，但有时候也允许非1的系数，称为幂函数的系数。比如，数学中幂函数一般指的是形如x^n的函数，但有时也允许有非零的常数系数，例如，形如k x^n，其中k≠0，这样的函数也称为幂函数吗？可能需要确认幂函数的定义。根据数学定义，幂函数一般是指形如f(x) = x^a，其中a是常数，前面的系数必须为1吗？如果是这样的话，那么题目中的幂函数必须满足系数为1，即m²−m−1=1，从而解得m²−m−2=0 → m=(1±√(1+8))/2=(1±3)/2，即m=2或m=-1。这时候再结合指数部分的条件，使得函数在x>0时单调递增。这时候，当m=2时，指数是-2*2 -1 =-5，所以幂函数x^{-5}，即1/x^5，此时在x>0时，由于指数为负，函数是递减的，而系数为1>0，所以整个函数递减，不符合题目的递增条件；当m=-1时，指数是-2*(-1)-1=2-1=1>0，所以幂函数是x^1，系数为1，所以在x>0时递增，符合条件。因此m=-1是一个解。这种情况下，题目中的系数必须为1，即m²−m−1=1，解得m=2或m=-1，但只有m=-1符合条件，这样第一题的答案就是m=-1。这可能才是正确的解法，可能我之前没有考虑到幂函数的定义要求系数为1。这应该是题目的意图，因为题目中说“幂函数”，而一般来说，数学中的幂函数严格定义为f(x)=x^a，其中a是实数，前面的系数为1。所以题目中的幂函数必须满足系数(m²−m−1)=1，即m²−m−1=1，解得m²−m−2=0，解得m=(1±√(1+8))/2=(1±3)/2，即m=2或m=-1。然后，接下来验证这两个解是否满足函数在x>0时单调递增的条件。对于m=2：系数为1，指数为-2*2 -1=-5，所以f(x)=x^{-5}=1/x^5，此时在x>0时，导数为f’(x)=-5x^{-6}，即负的，所以函数递减，不符合条件；对于m=-1：系数为1，指数为-2*(-1) -1=2-1=1，所以f(x)=x^1=x，导数为1，在x>0时递增，符合条件。所以m=-1是唯一的解。这说明我之前考虑的情况可能错误，误以为系数可以不为1，但根据严格的幂函数定义，系数必须为1，所以必须满足m²−m−1=1，解得m=-1或2，但只有m=-1满足递增的条件。因此，第一题的m值是m=-1。接下来，函数g(x)=2^x + m/(2^x)，即代入m=-1，得到g(x)=2^x + (-1)/2^x =2^x -1/2^x.接下来需要说明g(x)的单调性。即判断这个函数在定义域上的单调性。首先，函数g(x)=2^x -1/2^x。定义域为全体实数，因为2^x在实数域上是定义的。求导：g’(x)=ln2 *2^x + (ln2)/2^x.因为2^x的导数是ln2 *2^x，而-1/2^x的导数是ln2 * (1/2^x)，因为导数d/dx (1/2^x)=d/dx (2^{-x})= -ln2 *2^{-x}，所以原式中的导数是-(-ln2 *2^{-x})= ln2 *2^{-x}，即(ln2)/2^x.所以g’(x)=ln2 *2^x + ln2 /2^x = ln2 (2^x +1/2^x).因为2^x >0对于所有实数x，所以2^x +1/2^x ≥2，根据AM≥GM，当且仅当2^x=1/2^x即x=0时取等号。所以g’(x)=ln2*(2^x +1/2^x) ≥ ln2*2 >0，因为ln2≈0.693>0，所以g’(x)恒大于0，所以函数g(x)在全体实数上是严格单调递增的。所以第一题的结论是m=-1，g(x)在定义域上单调递增。接下来第二题，给定不等式g(1−3t)+g(1+t)≥0恒成立，求实数t的取值范围。这里已经确定m=-1，所以g(x)=2^x -1/2^x，它是一个单调递增函数。所以，不等式g(1−3t) + g(1+t) ≥0，要对于所有的情况恒成立？或者题目是否是说对于t的某些取值使得这个不等式恒成立？需要仔细理解题目。题目说：“不等式g(1−3t)+g(1+t) ≥0恒成立，求实数t的取值范围。”这里的“恒成立”可能是指在什么范围内成立？或者是否当t变化时，对于某些条件，该不等式成立？可能存在两种解读：一种是对于所有t的取值，该不等式成立，但题目中可能变量被约束，或者可能题目中的不等式对于某些变量x来说成立，但根据题目的表述，“恒成立”可能是指对于所有满足某些条件的变量，但在这里，变量可能是t本身吗？题目中的不等式是关于t的，所以应该理解为，无论其他变量如何变化（但题目中的g函数的变量是关于t的表达式），可能存在参数或其他变量吗？不，变量只有t，所以不等式g(1−3t)+g(1+t)≥0需要对于所有可能的t满足某些条件的情况下成立？或者说，当t的取值使得表达式1-3t和1+t在定义域内时，该不等式成立？但g(x)的定义域是全体实数，所以无论t取何值，1−3t和1+t都是实数，因此g(1−3t)和g(1+t)都是定义了的。题目要求的是“不等式恒成立”，即对于所有实数t满足某些条件的情况下成立？或者是否存在其他限制？题目中的“恒成立”可能应理解为对于所有可能的参数，但这里的参数是t吗？或者说这个不等式需要对于所有可能的t成立，所以求这样的t的取值范围？不过题目可能表述有问题，或者我的理解有误。可能正确的理解是，存在某个关于t的不等式，当该不等式成立时，对于某个变量的所有可能取值，原式成立。但原题中的变量可能已经被代换了，所以需要仔细分析。原题第二题是：“若不等式g(1−3t)+g(1+t) ≥0 恒成立, 求实数t的取值范围。”这里的“恒成立”可能是指对于所有属于某个集合的变量x（如果有的话），但题目中的变量已经被替换成关于t的表达式，如1−3t和1+t，所以可能这里的“恒成立”实际上需要原式对于某些关于t的条件成立，而这里的t是实数参数，但原题可能需要确定t的取值范围，使得对于所有x属于某个区间，或者可能存在另外的变量？或者更可能的是，这里的“恒成立”并不正确，或者可能题目中的参数是其他的，或者可能题目中的不等式本身仅涉及t，所以应该是“对于所有t的取值满足某些条件，该不等式成立”。但这里的描述可能需要更准确。但根据题目的表达，“不等式g(1−3t)+g(1+t)≥0恒成立”，即对于某些条件，当t变化时，这个不等式总是成立，所以需要求出所有实数t，使得无论其他变量如何变化，该不等式成立。或者可能这里的恒成立是指对于所有可能的x？显然不是，因为g的参数已经依赖于t。所以可能题目中的“恒成立”其实是对于某些变量，但这里的参数只有t，所以可能题目中的该不等式需要对于所有可能的t，或者对于t的某些存在条件，该不等式成立？这可能需要重新理解题目。可能正确的理解是，该不等式对于所有t的取值，例如，当t在某个范围内，不等式成立。但这里的“恒成立”可能指对于t的所有可能取值，或者给定某些限制条件，该不等式必须成立。但题目中的描述有点模糊。或者可能题目中的不等式是：对于所有的x，满足某些条件的情况下，g(x) +g(y)≥0，其中x和y与t有关系，例如，x=1−3t，y=1+t，此时可能需要确定t使得对于所有的x，y满足某种条件时，这个和是非负的。但这种情况也可能比较复杂。不过根据题目中的表达，“不等式g(1−3t)+g(1+t) ≥0 恒成立”，这里的“恒成立”可能指的是对于某些参数来说，无论它们的值如何，该不等式成立。但题目中的变量已经被替换成关于t的表达式，所以可能这里的参数是t，而题目希望找到t的取值范围，使得该不等式成立。但这与“恒成立”的通常含义不符，通常恒成立指的是对于某个变量在所有可能的取值情况下，该不等式都成立。所以可能这里的变量是什么呢？或者可能题目中的“恒成立”是误写，应该是“存在t使得该不等式成立”，或者“当t满足某些条件时，该不等式成立”。但根据中文题目的表达，“恒成立”一般用于表示对于某个变量的所有取值，该不等式都成立。因此，这里可能存在问题，即需要该不等式对于某个变量的所有取值成立，但此时该变量已经被替换成关于t的表达式，所以可能没有自由变量，因此无论t取何值，该不等式必须成立。但这样的话，可能只有特定的t使得左边表达式非负，而题目要求找到这样的t。然而，这与题目的表达矛盾，因为如果变量已经被代换为关于t的表达式，那么该不等式中的变量其实是已经确定的，不存在自由变量，因此该不等式是否成立只依赖于t的取值。因此，题目实际上的意思是：“求实数t的取值范围，使得g(1−3t) + g(1+t) ≥0 成立。”然而，题目中却用了“恒成立”，这可能引起误解。如果题目中的“恒成立”是指对于所有t的取值，该不等式成立，这会变得没有意义，因为t本身就是待求的变量。故可能正确的理解是：“求实数t的取值范围，使得对于所有满足某些条件的变量，该不等式成立。”但题目中并没有这样的条件，因此可能题目中的“恒成立”是一个误用，应该只是要解这个不等式，找到t的取值范围使得不等式成立。不过，根据常规题目的设定，可能是求所有实数t，使得g(1−3t)+g(1+t)≥0。而这里的g(x)=2^x -1/2^x，且已经知道g(x)是单调递增的函数。因此，我们可以将不等式转化为：g(1−3t) + g(1+t) ≥0即：[2^{1−3t} - 1/2^{1−3t}] + [2^{1+t} -1/2^{1+t}] ≥0可以简化这个表达式，或者利用g(x)的单调性来寻找解。因为g(x)是单调递增的，所以当x增大时，g(x)也增大。考虑到这一点，可能可以找到某种对称性或变量替换，使得不等式更容易处理。首先，令a = 2^{1−3t}，则1/2^{1−3t}=2^{3t−1}，同样，2^{1+t}=2*2^t，而1/2^{1+t}=2^{-1-t}。所以左边的表达式为：(a - 1/a) + (2^{1+t} -1/2^{1+t}) = a -1/a +2^{1+t} -1/2^{1+t}这可能不太容易直接简化。另一种方法是利用g(x)的性质。因为g(x)=2^x -2^{-x}，可以注意到这是一个奇函数吗？计算g(-x)=2^{-x} -2^{x}= - (2^x -2^{-x})= -g(x)，因此g(x)是奇函数。这可能对解题有帮助。现在，原不等式是g(1−3t) + g(1+t) ≥0。因为g是奇函数，但此处参数是不同表达式，可能无法直接应用奇函数的性质。不过，或许可以结合变量替换或其他方法。或者，将原式改写为：g(1−3t) ≥ -g(1+t)由于g是单调递增的奇函数，所以-g(1+t)=g(-(1+t))，因为g是奇函数，即g(-y)=-g(y)。所以：g(1−3t) ≥ g(- (1 + t))因为g是单调递增的函数，所以不等式等价于：1−3t ≥ - (1 + t)即：1 -3t ≥ -1 -t移项得：1 +1 ≥ 3t -t2 ≥2t ⇒ t ≤1这可能是否合理？让我详细推导一下：因为g是单调递增的函数，所以对于任何a和b，有：g(a) ≥ g(b) ⇒ a ≥ b因此，原式g(1−3t) + g(1+t) ≥0 ⇒ g(1−3t) ≥ -g(1+t)由于g是奇函数，-g(1+t) =g(-(1+t))因此，不等式变为：g(1−3t) ≥ g(-(1 + t))由于g是单调递增的，因此可以去掉g，得到：1 -3t ≥ - (1 +t )解这个不等式：1 -3t ≥ -1 -t两边加3t：1 ≥ -1 +2t两边加1：2 ≥2t ⇒ t ≤1同样，两边加t到两边：1 +1 ≥3t -t ⇒ 2≥2t ⇒ t≤1因此，得到t的取值范围是t≤1。但这时需要验证是否这个转换是正确的，因为可能原式在某些情况下不满足这种转换？例如，当1−3t和-(1 +t)都在g的定义域内，并且g是单调递增的，所以当g(a)≥g(b)时，a≥b，这是正确的。因此，转换是正确的。因此，原不等式等价于t≤1。但是这里需要验证是否存在其他情况。比如，当右边的表达式-g(1+t)是否可以转换成g(-(1+t))，这确实成立，因为g是奇函数。因此，通过这个转换，得到的不等式等价于t≤1，所以实数t的取值范围是t∈(-∞,1]。但需要验证这个结论是否正确，例如代入一些t值进行测试。当t=1时，左边是g(1−3*1)+g(1+1)=g(-2)+g(2)= [2^{-2} -2^{2}] + [2^{2} -2^{-2}] = (1/4 -4)+(4 -1/4)= (-15/4)+(15/4)=0，满足等式；当t<1时，例如t=0，左边是g(1)+g(1)= [2^1 -2^{-1}] + [2^1 -2^{-1}] = (2 -0.5)+(2 -0.5)=1.5+1.5=3≥0，满足条件；当t=2，即超过1时，t=2，左边是g(1−6)+g(3)=g(-5)+g(3)= [2^{-5}-2^5] + [2^3 -2^{-3}]= (1/32 -32)+(8 -1/8)= (-1023/32) + (63/8)= (-1023/32) + (252/32)= (-771)/32≈-24.09 <0，不满足不等式，因此当t=2时不满足；当t=1时，满足等于0；当t=0.5时，t=0.5，左边是g(1−1.5)+g(1.5)=g(-0.5)+g(1.5)= [2^{-0.5} -2^{0.5}] + [2^{1.5} -2^{-1.5}]= (1/√2 -√2)+(2√2 -1/(2√2))= ( (1-2)/√2 ) + ( (4 -1)/2√2 )= (-1/√2) + (3/(2√2))= ( (-2/2√2) +3/(2√2) )=1/(2√2)≈0.35>0，满足。当t趋近于负无穷时，比如t→-∞，1−3t→+∞，1+t→-∞，则g(1−3t)=2^{+∞} -2^{-∞}=+∞ -0=+∞，g(1+t)=2^{-∞} -2^{+∞}=0 -∞=-∞，但这里两者的和是+∞ + (-∞)，这是不确定的形式，但实际上需要具体计算：当t→-∞时，1−3t ≈-3t→+∞，所以g(1−3t)=2^{−3t}的大项为2^{+∞}，即趋近于+∞；而1+t≈t→-∞，所以g(1+t)=2^{t} -2^{-t}≈0 -2^{-t}=当t→-∞时，-2^{-t}≈-2^{+∞}→-∞。所以两者的和是+∞ -∞，这属于未定式，需要更精确的分析。或者，可能我的之前的推导存在漏洞，因为当t非常小时，1−3t可能非常大，而1+t可能非常小，但此时两者的g值可能趋向于正无穷和负无穷，但它们的和可能无法确定趋向于正还是负。但根据我们的解法，当t≤1时，原式成立，但当t趋近于-∞时，是否满足这个条件？例如，当t=1−3t，即t=1−3t→t=1/4，这个可能与我们的解法无关。或者可能我的之前结论错误？需要重新考虑这个问题。假设我们通过转换得到g(1−3t) +g(1+t) ≥0 的条件等价于t≤1，但实际可能需要考虑其他情况。例如，当1−3t ≥ -(1+t)，即t≤1，这时左边的表达式可能大于等于0，但实际情况是否总是成立呢？例如，当t=1时，左边是0，符合等于0；当t<1时，1−3t > -(1+t)，所以根据g的单调递增性，g(1−3t) >g(-(1+t))，因此g(1−3t)+g(1+t) =g(1−3t) -g(-(1+t))，因为g(1+t) = -g(-(1+t))，因为g是奇函数。所以原式可以写成：g(1−3t) -g(-(1+t)) ≥0 ⇒g(1−3t) ≥g(-(1+t)) ⇒1−3t ≥ -(1+t)，得到t≤1。这说明，当t≤1时，左边的式子确实≥0。然而，可能存在当t≤1时，虽然1−3t ≥ -(1+t)，但g(1−3t) +g(1+t) 的表达式是否一定非负？例如，考虑t=0，此时左边为g(1)+g(1)= (2 -0.5)+(2 -0.5)=3≥0，符合；当t=0.5，计算结果也是正数；当t→-infty时，比如t=-N，N→+∞, 则1−3t=1+3N→+∞, 所以g(1−3t)=2^{1+3N} -2^{-(1+3N)}≈2^{3N}→+∞；而1+t=1 -N→-infty, g(1+t)=2^{1 -N} -2^{-(1 -N)}≈-2^{N -1}→-infty；所以左边表达式≈+∞ -infty，实际上是未定式，但根据具体的增长速率比较：2^{3N}的增长速度比2^{N}要快得多，所以当N很大时，2^{3N} -2^{N} 会趋向于+∞，所以左边的表达式可能趋向于+∞，即对于足够大的N，即t→-infty时，左边表达式趋近于+∞，所以满足不等式。这说明当t≤1时，原不等式恒成立，而当t>1时，不成立。因此，实数t的取值范围是t∈(-∞,1]。这样，第二题的答案是t≤1，即t∈(-∞,1]。总结：(1) m=-1，g(x)在定义域上单调递增；(2) t的取值范围是t≤1，即(-∞,1]。答案(1) 实数 ( m ) 的值为 boxed{-1}，函数 ( g(x) ) 在定义域上单调递增；(2) 实数 ( t ) 的取值范围为 boxed{(-infty, 1]}。

🔑:已知幂函数 ( f(x) = (m^2 - m - 1)x^{-2m - 1} ) 在 ( (0, +infty) ) 上单调递增，函数 ( g(x) = 2^x + frac{m}{2^x} )。(1) 求实数 ( m ) 的值，并说明函数 ( g(x) ) 的单调性：幂函数 ( f(x) ) 在 ( (0, +infty) ) 上单调递增，需满足：1. 系数 ( m^2 - m - 1 = 1 )，解得 ( m = 2 ) 或 ( m = -1 )。2. 指数 ( -2m - 1 > 0 )，即 ( m < -frac{1}{2} )。验证 ( m = -1 ) 时，系数为 1，指数为 1，函数 ( f(x) = x ) 在 ( (0, +infty) ) 上递增。因此 ( m = -1 )。函数 ( g(x) = 2^x - frac{1}{2^x} ) 的导数为 ( g'(x) = ln 2 (2^x + 2^{-x}) )，恒大于 0，故 ( g(x) ) 在定义域上单调递增。(2) 求不等式 ( g(1 - 3t) + g(1 + t) geq 0 ) 恒成立的实数 ( t ) 的取值范围：由于 ( g(x) ) 是奇函数且单调递增，不等式可转化为：[ g(1 - 3t) geq -g(1 + t) = g(-(1 + t)) ]即：[ 1 - 3t geq -(1 + t) ]解得 ( t leq 1 )。验证当 ( t leq 1 ) 时，不等式恒成立，而 ( t > 1 ) 时不成立。因此实数 ( t ) 的取值范围为 ( (-infty, 1] )。最终答案：(1) 实数 ( m ) 的值为 boxed{-1}，函数 ( g(x) ) 在定义域上单调递增；(2) 实数 ( t ) 的取值范围为 boxed{(-infty, 1]}。

🧠:嗯，我现在要解这个问题：一个数的5倍等于6.35加2.65的和，求这个数。好，先慢慢理清楚思路。首先，题目是说一个数的五倍等于6.35和2.65相加的结果。那应该是一个简单的方程题吧。我需要设这个数为x，然后根据题意列方程，再解这个方程对吧？让我试着写下来。题目说“一个数的5倍”，也就是5乘以这个数，等于“6.35和2.65的和”，也就是6.35加上2.65。所以等式应该是：5x = 6.35 + 2.65接下来，我需要先计算右边的和，也就是6.35加上2.65是多少。让我算一下，6.35加2.65。个位上6加2是8，小数点后的部分0.35加0.65是0.35+0.65=1.0。所以总和就是8+1=9，对吗？所以右边的和是9。那方程就变成了5x = 9。接下来，要解这个方程的话，应该两边同时除以5，这样就可以得到x的值。所以x等于9除以5，也就是9/5。计算一下的话，9除以5等于1.8。所以这个数应该是1.8。不过，我是不是哪里算错了呢？再检查一遍。首先，6.35加2.65，先分开计算整数部分和小数部分：6+2=8，0.35+0.65确实是1.0，所以总和是8+1=9，没错。然后5x=9，解得x=9/5=1.8。看起来是对的。或者，也可以用另一种方法来验证。比如，假设这个数是1.8，那它的5倍就是1.8乘以5，等于9。而6.35加2.65也确实等于9，所以结果是对的。所以答案应该是正确的。不过，有没有可能存在其他解法呢？比如，是否需要用分数而不是小数来表达答案？题目并没有明确要求，所以可能小数或者分数都可以。但为了准确，可能分数形式更好？比如，9除以5是分数形式，写成9/5或者1又4/5，但是作为答案的话，用小数1.8可能更常见。再想想，题目中的数值都是两位小数，结果可能也应该保留两位小数吗？不过这里的结果1.8是精确的，没有余数，所以直接写成1.8就可以了，没问题。有没有可能我在某些步骤上出错了？比如，加法的时候有没有计算错误？比如，6.35加2.65，试一下另一种方法，比如把6.35看作6+0.35，2.65看作2+0.65。整数部分加起来是6+2=8，小数部分0.35+0.65=1，总共8+1=9，没错。所以没问题。所以，整个解题过程是对的，得出的x=1.8是正确的答案。这样的话，这个数就是1.8，用分数的话是五分之九，或者写成带分数是一又五分之四，但可能题目更接受小数的形式。总之，步骤是对的，答案也是正确的。

🔑:已知一个数的5倍等于6.35与2.65的和，设这个数为( x )，根据题意可列方程：[5x = 6.35 + 2.65]首先计算右边的和：[6.35 + 2.65 = 9]因此方程简化为：[5x = 9]两边同时除以5，解得：[x = frac{9}{5} = 1.8]验证：当( x = 1.8 )时，( 5 times 1.8 = 9 )，与6.35 + 2.65的结果一致。因此，这个数是：[boxed{1.8}]

🧠:好的，我现在要解决这个题目，题目是找出满足最大值为1/2，最小正周期为2π/3，初相为π/6的正弦函数表达式。选项是A到D四个。让我仔细分析每个条件，然后对照选项选出正确的答案。首先，题目中给出的函数应该是一个正弦函数，形式应该是y = A sin(Bx + C)或者y = A sin(Bx - C)，其中A是振幅，B影响周期，C与相位有关。接下来，我需要分别利用题目中的三个条件来排除选项，找到正确的答案。第一个条件是最大值为1/2。对于标准的正弦函数y = A sin(Bx + C)来说，振幅A决定了函数的峰值，最大值就是A，最小值是-A。所以这里的A应该等于1/2。观察所有选项，A、B、C、D的振幅都是1/2，所以这个条件所有选项都满足，无法排除任何选项，必须看其他条件。第二个条件是最小正周期为2π/3。一般来说，正弦函数y = A sin(Bx + C)的周期是2π/B。题目给出的周期是2π/3，所以根据周期公式，我们有：2π/B = 2π/3解这个方程的话，两边同时乘以B，得到2π = (2π/3) * B，然后两边都除以(2π/3)，得到B = (2π) / (2π/3) = 3。所以这里的B应该是3。现在检查各个选项中B的位置，也就是sin里面的系数。选项A和B中的参数是x/3，也就是B=1/3，这样的话周期就是2π/(1/3)=6π，显然不符合题目中的周期2π/3。所以选项A和B可以排除。而选项C和D中的参数是3x，也就是B=3，所以它们的周期是2π/3，符合条件。所以现在剩下的候选选项是C和D。第三个条件是初相为π/6。这里需要注意的是，初相通常指的是当函数表达式写成y = A sin(Bx + C)时的相位，也就是C，或者当写成y = A sin(Bx - C)时，可能需要注意方向。不过一般来说，初相φ是函数表达式中的相位常数，即当函数写成y = A sin(Bx + φ)时，初相就是φ。另一种写法可能是y = A sin(Bx - φ)，这时候初相就是-φ吗？或者说不同的教材可能有不同的定义，这里需要明确一下初相的定义。通常，标准的正弦函数形式是y = A sin(Bx + C)，其中相位位移（初相）是-C/B。这里的初相应该是指相位位移的初始相位，即当x=0时的相位，或者说是函数相对于y = A sin(Bx)的水平位移量。不过有时候题目中的初相可能直接指的是C这个参数，这时候可能会有不同的意见。我需要仔细确定题目的定义。不过题目中给出的初相是π/6，而我们需要确定每个选项中是否满足这个条件。一般来说，当函数写成y = A sin(Bx + φ)的形式时，初相就是φ。而相位位移则是-φ/B。但这里的题目可能直接问的是初相φ，而不考虑相位位移的话，可能指的是函数中的相位常数φ。例如，函数y = sin(3x + π/6)的初相是π/6，而它的相位位移是-π/(6*3)= -π/18；但是题目中的初相是否指的是这个φ呢？或者是否指的是相位位移后的值？这里可能存在不同的解释，需要根据题目的习惯来判断。不过根据题目中的选项，我们需要确定哪一个选项的初相是π/6。这个时候可能需要明确初相的定义。一般来说，初相指的是当函数写成y = A sin(Bx + φ)时的φ，即相位项中的常数项。例如，在选项中，选项D是sin(3x + π/6)，这里的φ就是π/6，所以它的初相就是π/6。而选项C是sin(3x - π/6)，即φ是-π/6，那么初相应该是-π/6吗？但题目中的初相是π/6，所以选项C中的初相不符合，选项D符合。不过这里可能存在另一种情况，即当函数写成y = A sin(Bx - C)时，初相是C吗？这可能需要更仔细的分析。例如，假设函数为y = A sin(Bx + φ)，那么初相是φ；但是如果函数写成y = A sin(Bx - φ)，那么是否初相是-φ呢？或者是否应该将式子变形为y = A sin(Bx + (-φ))，那么初相就是-φ？以选项C为例：选项C是y = 1/2 sin(3x - π/6)，可以写成y = 1/2 sin[3x + (-π/6)]，所以这里的φ是-π/6，所以初相应该是-π/6，不符合题目的π/6。而选项D是y = 1/2 sin(3x + π/6)，所以这里的φ是π/6，符合条件。所以正确的选项应该是选项D。不过让我再仔细核对一下，以确保自己没有搞错。这里的关键点在于题目中“初相”的定义。一般来说，在标准的正弦函数形式y = A sin(Bx + φ)中，φ就是初相，而相位位移为-φ/B。例如，在选项D中，初相φ是π/6，所以相位位移是-π/(6*3) = -π/18；而在选项C中，初相φ是-π/6，相位位移是-(-π/6)/3 = π/18。题目中的条件给出的是初相为π/6，所以选项D中的φ=π/6满足这个条件，而选项C中的φ=-π/6不满足。因此，选项D是正确的。因此，综合三个条件，正确的答案应该是选项D。选项D满足最大值为1/2，周期为2π/3，初相为π/6这三个条件。其他选项中，A和B的周期不对，C的初相不对，所以被排除。选项D正确。不过，再仔细检查一下选项有没有写错的可能性。比如选项D的表达式是3x + π/6，对应的周期是2π/3，正确。振幅1/2，正确。初相是π/6，正确。而选项C的表达式是3x - π/6，其初相应该是-π/6，不符合题目要求，所以正确答案是D选项。综上所述，正确答案是选项D。答案选项 boxed{D}

🔑:题目要求找出满足最大值为1/2，最小正周期为2π/3，初相为π/6的正弦函数表达式。1. 最大值为1/2：所有选项的振幅都是1/2，因此都满足这个条件。2. 最小正周期为2π/3：正弦函数的周期公式为2π/B。根据题目给出的周期2π/3，解得B=3。选项C和D中的参数为3x，符合B=3，因此周期为2π/3。选项A和B的参数为x/3，周期为6π，不符合条件，排除。3. 初相为π/6：正弦函数的标准形式为y = A sin(Bx + φ)，其中φ为初相。选项D的表达式为y = 1/2 sin(3x + π/6)，其中φ=π/6，符合条件。选项C的表达式为y = 1/2 sin(3x - π/6)，即φ=-π/6，不符合条件。综上所述，正确答案是选项D。boxed{D}

🧠:嗯，这个问题看起来不算太难，但我要仔细想清楚。题目是说汤姆买了一张唱片，价格是4美元，还有一套耳机。总共付了48美元。如果他不买耳机的话，能再买多少张唱片呢？对吧？首先，我需要确定汤姆买唱片和耳机各自花了多少钱。已知一张唱片是4美元，而耳机的价格未知，所以需要先算出耳机的价格。然后，汤姆没有买耳机的话，省下来的钱可以用来买更多的唱片。那问题就转化为：用省下的耳机的钱，可以多买多少张唱片。那第一步，应该算出耳机的价格。总金额是48美元，买了一张唱片和耳机。唱片是4美元，所以耳机的价格应该是总金额减去唱片的钱。也就是48减去4，等于44美元。那这样，耳机是44美元？对啊，这样的话，如果他不买耳机，就能省下44美元。然后用这44美元来买更多的唱片。每张唱片是4美元，那么能买多少张呢？这时候应该用44除以4，等于11张。所以答案应该是11张？不过等等，题目问的是“还能再买多少张唱片”，而他原本已经买了一张。那如果他不买耳机的话，是不是原本的那张唱片的钱还要算进去？或者题目意思是，如果他不买耳机，那原本用来买耳机的钱可以买多少张唱片，而不管原来的那张？这时候需要仔细看题目。题目说“他决定不买那套耳机，他还能再买多少张唱片？”这里的“还能”应该是指除了原本已经买的那张之外，还能多买多少张。或者说，总共有多少钱，原本用来买耳机的那部分钱，能用于购买多少张唱片？可能我的理解有问题。让我再仔细分析一遍。总付了48美元，其中一张唱片4美元，所以耳机价格是48-4=44美元。如果他不买耳机，那么他原本的48美元不需要花在耳机上，那么他能用这全部48美元来买唱片吗？或者是不是原本他已经用了4美元买了一张唱片，然后剩下的44美元没买耳机，所以总共有44美元可以用来买更多的唱片？或者题目中的总支付是48美元，其中包含了唱片和耳机的总价。如果他决定不买耳机，那么购买的总金额就是48美元，这时候他用这48美元买唱片，每张4美元，能买多少张。这样的话，48除以4等于12张。那题目问的是“还能再买多少张”？原本买了一张，现在不买耳机的话，可以买12张，所以还能再买的是12-原来的1张=11张？对的，这种情况下，正确的应该是11张。因为他原本买了一张唱片和耳机，总共48美元。如果不买耳机的话，省下的44美元可以购买44/4=11张唱片。或者，或者可能我的理解有误？比如，总金额是48美元，原本买一张唱片和耳机。所以，唱片是4，耳机是44，对吧？如果他不买耳机，那总共有48美元可以全部用来买唱片，这样的话，48除以4等于12张。所以他原本买了一张，现在如果不买耳机的话，可以买12张，所以还能再买12-1=11张？或者，题目中的“还能再买多少”是否包括原来的那张呢？比如，假设不买耳机的话，他原本的4美元已经用了，那么剩下的44美元可以用来买唱片，这时候是44/4=11张。这就是“还能再买”的数量，对吗？这时候两种情况需要明确：情况一：汤姆原本花费4美元买了一张唱片，44美元买了耳机。总支出48美元。如果他不买耳机，那么他原本的4美元还是用来买一张唱片，而剩下的44美元可以用来买额外的唱片。因此，他能用44美元买11张唱片。所以这是额外的11张，加上原来的那张，总共12张。但问题问的是“还能再买多少张”，也就是因为不买耳机而多买的数目，即11张。情况二：或者问题是否这样理解，如果他不买耳机，那么总共有48美元全部用来买唱片，所以能买48/4=12张，原来没买耳机的时候已经买了一张，所以还能再买12张？但这里可能之前的理解有误。这里的问题描述需要仔细看。题目说，汤姆买了一张唱片和一套耳机，总共48美元。如果他不买耳机，那么他原本用来买耳机的44美元就可以用来买更多的唱片。这时候44美元可以买多少张。这时候的话，44除以4等于11张。所以答案就是11张。或者，是否不管原来的那张，如果他不用买耳机的话，全部的钱都用来买唱片，那总共有48美元，可以买12张，所以还能买12张吗？那原来的那张是否要算在总费用里？这里可能存在歧义，需要明确题目中的总金额是否包含已经购买的唱片和耳机。根据题目，他买了一张唱片和耳机，总付了48美元。所以总费用是48美元，其中唱片4美元，耳机44美元。如果他不买耳机，那么总费用就是4美元，一张唱片。但他是否打算将原本用于耳机的44美元转而购买更多唱片？如果是这样的话，他剩下的44美元可以买44/4=11张唱片，所以他总共可以买1 +11=12张。但题目问的是“还能再买多少张”，也就是相对于他原本买的1张，还能多买多少张？也就是11张。另一种情况，如果他不买耳机的话，原本用来买耳机的44美元可以全部用来买唱片，所以可以买44/4=11张唱片。这时候，答案是11张。所以正确的计算应该是耳机价格是48-4=44，然后44/4=11张。所以答案就是11张。对吗？

🔑:汤姆买了一张4美元的唱片和一套耳机，总共支付了48美元。首先计算耳机的价格： [48 text{美元} - 4 text{美元} = 44 text{美元（耳机价格）}] 如果汤姆不买耳机，省下的44美元可以全部用来购买唱片。每张唱片4美元，因此能购买的额外唱片数量为： [frac{44 text{美元}}{4 text{美元/张}} = 11 text{张}] 因此，汤姆不买耳机的情况下，还能再买11张唱片。 答案：boxed{11}